Представление двоичных чисел

Существует много способов представления чисел. Например, обычную пятерку можно обозначить при помощи символа 5, написанного на бумаге, или отобразить с помощью пяти косточек русских счетов, положенных справа налево, или же показать при помощи пяти раскрытых пальцев одной руки.

Еще больше способов существует для представления двоичных чисел. Это объясняется тем, что любое физическое устройство, имеющее два устойчивых состояния, может быть использовано для выражения двух символов (единицы и нуля) двоичной системы счисления, в то время как отображение десятичных чисел требует десять таких состояний (десять символов от 0 до 9, десять косточек на счетах, десять пальцев на руках и т. п.). Из всех способов отображения двоичных чисел укажем только те, которые чаще всего применяются в микропроцессорной технике.

Рассмотрим, к примеру, как можно отобразить двоичное число 1001. Такое число можно записать на бумаге в виде сочетания единиц и нулей, что мы и сделали. Можно собрать цепочку из четырех электрических лампочек и условиться, что каждая светящаяся лампочка будет обозначать единицу, а несветящаяся — нуль.

Иногда двоичное число отображают на бумажной ленте (называемой перфолентой) путем пробивания отверстий. Каждое пробитое отверстие считается единицей, а не пробитое — нулем. Пробивание отверстий часто заменяют намагничиванием специального магнитного слоя, нанесенного на магнитную ленту, барабан или диск. Намагниченный участок слоя считается единицей, а размагниченный — нулем.

Чтение такой магнитной записи выполняется при помощи электромагнитной головки. При прохождении намагниченного участка возле зазора головки в обмотке головки образуется импульс тока (единица), а при прохождении размагниченного участка — пауза (нуль).

Как будет указано далее, ввод двоичных чисел в микропроцессорной технике выполняют путем представления чисел в виде электрического напряжения. Высокий уровень напряжения означает единицу, а низкий — нуль.

На рис. 3, а показан ввод двоичного числа 1001 в электронный элемент DD1 при помощи переключателей ПО—ПЗ. В верхнем положении переключатель подсоединяется к источнику напряжения высокого уровня ( + 3 В), а в нижнем — к источнику низкого уровня ( + 0,3 В). С правой стороны к элементу DD1 подсоединяют светодиоды С0—С3, с помощью которых путем засвета верхнего (С 0 ) и нижнего (С3) светодиодов отображено число 1001.

В дальнейшем очень часто будут применяться схемы, показывающие, как вводятся и выводятся двоичные числа в микропроцессорных элементах. Для большей наглядности и упрощения чертежей условимся обозначать переключатели, подающие уровень единиц, в виде красного кружка и отрезка прямой, направленного вверх (переключатели ПО и ПЗ на рис. 3, б), а переключатели, на выходе которых имеется уровень нуля,— в виде зеленого кружка и отрезка прямой, направленного вниз (переключатели П 1 и П2 на рис. 3, б). На этих же схемах светодиоды, излучающие свет, мы будем обозначать кружками красного цвета (СО и СЗ на рис. 3, б), а неизлучающие — обычными, светлыми кружками (С 1 и С2), окаймленными зеленой линией. Все провода и элементы электрических цепей, относящиеся к высокому электрическому уровню (1), будем обозначать красным цветом, а относящиеся к низкому (0),— зеленым.

Очень часто в микропроцессорной технике двоичные числа представляют и запоминают при помощи триггеров. Триггер может находиться в одном из двух устойчивых состояний — в единичном и нулевом. В первом случае на его выходе имеется высокий уровень напряжения (единица), а во втором — низкий (нуль). Поэтому, установив четыре триггера (рис. 4), называемые регистром, можно с помощью такого четырехразрядного регистра триггеров обозначить и запомнить двоичное число 1001. Для этого нужно крайние триггеры установить в единичное состояние, в внутренние — в нулевое.

Наш рассказ о других способах представления двоичных чисел мы продолжим при более подробном рассмотрении различных технических устройств, служащих для записи, хранения и воспроизведения двоичных чисел.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует много способов перевода чисел из одной системы в другую. На наш взгляд, наиболее простым, удобным и самым надежным способом перевода небольших чисел является применение таблицы переводов. Эту таблицу можно составить, как и табл. 2.1, но длиной, примерно, в сто строк. Мы настоятельно рекомендуем составить такую таблицу. Она окажет большую помощь при написании и отлаживании программ. Кроме того, составляя таблицу, читатель получит необходимую практику перевода и сможет закрепить полученные сведения о системах счисления. Если под рукой такой таблицы не окажется или встретится число, большее, чем указано в таблице, то перевод нужно уметь выполнить с помощью расчета. При этом полезно запомнить следующие простые правила перевода.

Перевод десятичного числа в двоичное

Такой перевод выполняется путем последовательного деления десятичного числа на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет равным 1. Тогда все остатки, полученные от деления начиная с последнего, составят двоичную запись десятичного числа.

Пусть, например, требуется перевести в двоичную систему десятичное число 53. Делим это число на 2, но не доводим деление до конца, а обрываем его, как только остаток будет меньше двух (рис. 5).

Остаток получился 1. Запоминаем его, обводя для наглядности прямоугольником. Теперь берем частное 26 и снова делим на 2. В результате деления получается частное 13 и остаток 0/Обводим остаток 0 тоже прямоугольником, а с частным 13 поступаем также, как и прежде, то есть делим его на 2 и регистрируем прямоугольником остаток 1. Новое частное 6 опять делим на 2. Получаем частное 3 и остаток 0. Делим 3 на 2, фиксируя частное 1 и остаток 1. Если теперь записать все остатки, обведенные прямоугольником в обратной последовательности (в направлении, указанном стрелкой на рис. 5), а в начале приписать 1 от частного, полученного при последнем делении (эта единица подчёркнута), то образуется такая запись десятичного числа 53 в двоичном виде:

процесс этого перевода несколько упрощают. Пишут заданное десятичное число, а справа от него проводят вертикальную линию вниз. Затем начинают устное деление числа на 2. При этом число может делиться на 2, тогда правее, за чертой, ставят 0. Если же число не делится на 2, то ставят остаток 1. Результат же деления в обоих случаях подписывают под числом. В конце операции деления независимо от того получился остаток или нет, справа пишут единицу. Если теперь переписать снизу вверх все единицы и нули, расположенные правее черты, то получим искомое двоичное число.

Пример. Переведем десятичное число 53 в двоичное. Пишем 53 и прайсе проводим вертикальную черту вниз. Делим 53 на 2. ЧИСЛО 53 нечетное и на 2 не делится, поэтому пишем правее, за чертой, остаток 1, а результат деления 26 подписываем снизу под числом 53 Делим 26 на 2. Это число делится без остатка. Ставим правее 0, а ПОД числом — результат деления 13.

Число 13 на 2 не делится. За линией пишем 1, а результат деления 6 подписываем ниже числа. Делим 6 на 2. Деление выполняется без остатка линии пишем 0, а под числом результат деления 3. Это число на 2 не делится. Снова правее линии пишем 1 и ниже этой единицы последний остаток 1, а правее, как говорилось выше, пишем I (для наглядности эта единица обведена кружком). Переписав снизу вверх (начиная с этой единицы, обведенной кружком) нее единицы и нули, расположенные правее черты, получим искомое двоичное число: 110101.

Таким образом, 5310 = 1101012.