Двоичная система счисления

В этой системе счисления основанием является число 2, поэтому система называется двоичной; она пользуется двумя символами (О и 1) для записи чисел и в ней значение символа изменяется от разряда к разряду в два раза.

Символ 1, записанный в нулевом разряде (рис. 2), означает, как и в десятичной системе,— один. Символ 1, будучи записанным в первом разряде, соответствует десятичному два (в два раза больше), а записанный во втором разряде — десятичному четыре (снова в два раза больше), затем — восемь, шестнадцать и т. д. С каждым разрядом значение (вес) символа 1 увеличивается в два раза.

Число 1111, написанное в двоичной системе счисления, читается так: Один, один, один, один в двоичной системе, что означает: одна восьмерка, одна четверка, одна двойка и одна единица, а всего — число, равноценное пятнадцати в десятичной системе счисления.

При чтении чисел, записанных в двоичной системе, сначала возникают трудности. Невольно пытаемся рассматривать их как десятичные. Поэтому к двоичному счету приходится постепенно привыкать.

Если в каком-либо разряде данного числа записан 0, то значение этого разряда не входит в состав числа и им пренебрегают, при чтении. Например, число 3002 в десятичной системе счисления читается так: три тысячи два. О сотнях и десятках числа здесь ничего не говорится. Если же быть более точным, то это число следовало бы прочесть иначе, а именно: три тысячи, нуль сотен, нуль десятков, две единицы. Соответственно, и в двоичной системе счисления число 1001 читается так: Один, нуль, нуль, один в двоичной системе, что означает: восемь и один, всего — девять, или, точнее: одна восьмерка, нуль четверок, нуль двоек и одна единица, итого число, равноценное десятичной девятке.

Символы 1 и 0 в двоичной системе счисления не являются цифрами в том количественном понимании, к которому мы привыкли, пользуясь десятичной системой. Здесь они лишь служат условными знаками, показывающими, входит или нет десятичный эквивалент двоичного символа данного разряда в состав числа. Если в каком-либо разряде написано 1, то десятичное значение этого разряда (единица, двойка, четверка, восьмерка и т. д.) входит в состав числа, если же написано 0, то не входит.

Чтобы усвоить способ записи чисел в двоичной системе, полезно составить таблицу десятичных значений четырехразрядных двоичных чисел. В дальнейшем при работе с микропроцессором желательно запомнить эту таблицу, подобно тому, как мы когда то запоминали школьную таблицу умножения. В первой колонке табл. 2.1 размещены различные сочетания символов 0 и 1 для четырехразрядных двоичных чисел, а во второй щее десятичное значение для каждого двоичного числа. Тщательно разбираясь в этой таблице, нужно II усвоить способ записи двоичных чисел. Для облегчения про комментируем несколько строк таблицы.

В первой строке первой колонки написано 0000. Во всех его разрядах значится 0, следовательно, ни одна цифра из всех четырех разрядов не входит |в состав числа. Число равно нулю. Во второй строке написано 0001, Здесь число определяется значением символа 1, записанного в нулевом разряде (в разряде единицы). Поэтому десятичный эквивалент числа будет равен единице. В третьей строке написано 0010. В этом числе символ 1 записан в первом разряде (в разряде двойки), поэтому число равно двум. В четвертой строке записано ООН. Здесь символ 1 имеется и в разряде единицы, и в разряде двойки. Десятичный эквивалент числа будет три (2+1 = 3). Рассуждая аналогично, можно определить значение чисел во всех других строках таблицы.

Двоичная система счисления широко применяется в современных устройствах вычислительной техники благодаря удобству записи, хранения и простоте ввода двоичных чисел в эти устройства. Кроме того, арифметические действия с двоичными числами намного проще, чем с десятичными, что облегчает конструирование вычислительных устройств. Однако в двоичной системе счисления есть и недостатки. Они заключаются в. большой длине (громоздкости) двоичных чисел и малой их наглядности. Возьмем, к примеру, два числа, записанных в десятичной системе: 232 и 143. Достаточно беглого взгляда на эти числа и мы сразу можем сказать, что первое число (232) примерно в полтора раза больше второго (143). Запишем те же числа в двоичной системе: 11101000 и 100011 ГГ. Что теперь можно сказать об этих числах? Во-первых, они стали менее выразительны и их трудно количественно оценить ; во-вторых, их запись стала намного длиннее: они занимают теперь по восемь разрядов, вместо трех; в-третьих, при написании двоичных чисел легко ошибиться, написав вместо единицы нуль и наоборот.

Учитывая эти недостатки, двоичные числа часто записывают в шестнадцатеричном виде. Поэтому, составляя табл. 2.1, целесообразно предусмотреть в ней третью колонку для символов шестнадцатеричных чисел.

Эти символы можно будет вписать в таблицу после ознакомления с шестнадцатеричной системой счисления.

Шестнадцатеричная система счисления

В качеству основания этой системы, счисления взято число 16, поэтому система называется шестнадцатеричной. Для записи чисел пользуются шестнадцатью символами и значение (вес) каждого символа изменяется от разряда к разряду в шестнадцать раз.

Символы шестнадцатеричной системы счисления записывают так: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е и F, то есть с 0 по 9 — в виде цифр, а с 10 по 15 — в виде латинских букв, где буква А означает десять, В — одиннадцать (и т. д. до буквы F, означающей пятнадцать).

Все перечисленные символы (от 0 до F), будучи написанными в самом крайнем правом (нулевом) разряде шестнадцатеричного числа, соответствуют значению цифр этого ряда (от 0 до 15). Такие же символы, но написанные в первом разряде, означают число, в шестнадцать раз больше, то есть 1 означает теперь 16 (1 X 16 = 16), 2 означает 32 (2 X 16 = 32), a F соответствует 240 (15 X 16= 240). Таким образом, число 111, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, читается так: Один, один, один в шестнадцатеричной системе счисления, что означает: двести пятьдесят шесть (1 X 16 X 16 = 256), плюс шестнадцать (1 X Н = 16), плюс один, итого двести семьдесят три в десятичной системе счисления.

Еще пример. Число F03. Оно расшифровывается так: ЭФ, нуль, три в шестнадцатеричной системе счисления, что означает тритысячи восемсот сорок ( 15 X 16 X 16 = 3840) плюс три, итого три тысячи восемьсот сорок три в десятичной системе счисления.

Если шестнадцатеричное число встречается в тексте совместно с буквенными символами, то для отличия чисел, записанных буквами (от А до F) от символов текста, левее шестнадцатеричного числа приписывают нуль. Например, пишут ОАВ или OCF2. Такой нуль, предшествующий старшему разряду любого числа, не имеет значения, его можно писать или не писать при любой системе счисления.

Шестнадцатеричные числа не применяются в микропроцессорной технике для выполнения вычислений. Они лишь используются как средство Сокращения записи двоичных чисел при написании программ. О способах выполнения такой сокращенной записи будет сказано далее.